dimanche 24 mai 2015

Les maths et la musique

On sait qu’il existe un lien entre les maths et la musique. On l’a su dès l’antiquité, depuis les jours de Pythagore qui considérait même que la musique est une des mathématiques, comme sont l’astronomie, la géométrie et l’arithmétique. Les compositeurs ont été nombreux qui s’intéressaient des maths et utilisaient des trucks mathématiques dans leur compositions. Et plusieurs mathématiciens ont été amateurs de musique. 

Techniquement le lien entre les maths et la musique est simple quand on parle des suites de nombres entiers. Chaque nombre peut être symbolisé par la note de musique, dont la hauteur corresponde celle du nombre. Souvent les suites de nombres sont monotones ou autrement mal structurés tant qu’ils n’offrent ou ne semblent offrir rien d’intéressant pour être convertis aux sons. D’autre part si la structure de la suite exhibe des formes répétées, on peut attendre quelque chose qui peut ressembler à la musique. On a trouvé des polyrythmes fascinants par exemple dans les nombres de Fibonacci. 

J’ai récemment expérimenté avec une suite que j’ai produit avant à partir du fonction trigonométrique tan(n). Ici, même n désigne un entier 0, 1, 2, 3, ..., sa tangent reste décimal et doit ainsi être remise en entier. Ca s’effectue simplement en omettant les decimaux par la fonction floor. Maintenant quelque chose d’intéressante s’arrive. Si je prend la tangent de floor(tan(n)) et le remet en entier par floor, et continue de façon répété floor(tan(floor(tan(floor(tan(n)))))) jusquá ce que le résultat ne change plus, la suite limite s’obtient qui est la suite des 0’s et des 1’s. La densité moyenne des 1’s dans la suite est environ 12% et ils s’y sont distribués de façon qui laisse attendre de la musique rythmique et mélodique.

J’ai fait quelques expériences primitives avec Mathematica. Vraiment, en la jouant comme au piano, la suite manifeste le rythme stable avec un thème et variations. Chaque mesure semble être composé de 42 sons formant le thème, qui pourtant ne se répéte jamais similairement.