mercredi 22 mai 2013

Des tétraèdres et des orchidées


Le plus récent numéro (2/2013) du magazine finlandais des adeptes des orchidées, Orkidealehti, a publié un article de dix pages basé partiellement sur des trouvailles de l’excursion d’un groupe de quatre personnes aux alpes des Dolomites au milieu du mois de juin en 2012. Le groupe était composé de l’ancien rédacteur en chef du magazine, Tuula Hulkkonen, son époux Matti qui était le photographe principal, ma femme Leila, et moi. Le but de l’excursion, outre que chasser des orchidées et d’autres fleurs alpines, était de faire quotidiennement des randonnées à pied aux paysages pittoresques variés et, comme toujours, conquérir quelques pics. Mais mon but personnel s’est enrichi encore de quelque chose d’autre.

Juste avant le départ, un autre Matti avait lancé sur le site des cruciverbistes et verbicrucistes (j'utilise toujours le pseudonyme Olavi Kivalo à ce sujet) un problème géometrique extrèmement fascinant: Donné un tétraèdre régulier, coupe-le en tranches équidistantes par des plans, parallels à ses quatre faces, tant que les six arêtes deviennent ainsi divisées, chacune, en n pièces égales. Quel est le nombre total des tétraèderes (et possiblement autres polyèdres) de toutes tailles ainsi produits en fonction de n? Quel défi! Surtout parce qu’il semblait clair que personne n’avait résolu ce problème avant. 

La fascination du problème m’avait gagné. J’y réflechissais pendant le vol de Helsinki à Munich et étais obligé d’admettre que la représentation en trois dimensions du tétraèdre est beaucoup plus difficile que celle du cube. Aux Dolomites, les seules moyens auxiliaires étaient le papier et le crayon. 

Pendant des longues, et quelquefois ennuyants efforts vers des pics j’avais le temps. La représentation du tétraèdre initial et ses composants continuait à cristalliser dans ma tête peu à peu. J’ai découvert assez tôt que les composants sont de trois types: des tétraèdres, identiques à l’initial mais ayant ou la même position ou la position opposite, et des octaèdres. Plus tard, j’était capable de prédire comment le nombre des trois type de polyèdres augmente en fonction de n. Pour vérifier ces nombres il m'a fallu dériver par coeur les formules pour les volumes de tétraèdre et octaèdre. Le volume total de tous les composants, d’une taille donnée, doit égaler le volume du tétraèdre initial. Ce qui restait à être fait après le retour, à l’aide de l’ordinateur, était de trouver les fonctions analytiques pour les séquences de nombres des composants différents. Ces séquences se trouvent aujourd’hui publiées (sous mon propre nom) dans l’OEIS, l’encyclopédie en ligne des suites de nombre entiers.

Le musée d'Ortisei abrite une collection de cristaux des roches alpines. Je les avais scruté, un après-midi pluvieux, pour trouver s'il y'en aurait des cristaux de forme de tétraèdre. Je n'avais trouvé aucun. Cela m'a fait soupçonner qu'une telle structure doit être peu profitable énergétiquement et pour cette raison être rare dans la nature. Il y en a pourtant quelques-uns (une espèce minérale appelée tétraèdrite, par exemple), comme je me suis informé plus tard.

L'excursion était un succès outre ce qui concerne des orchidées. J'ai découvert la structure interne du tétraèdre régulier qui confirme que des cristaux de cette forme peuvent se former spontanément. Pourtant, le cristal ne peut pas être constitué uniquement des tétraèdres, comme la cube peut être constituée des cubes. Le fait qui doit mettre la créativité de la nature en preuve.