L’histoire d'un palindrome

Cette histoire a son début dans la géométrie, spécifiquement dans une des fonctions de base de la trigonométrie, le tangent. Déjà les écoliers connaissent ce que signifie tan(x) où x désigne l’angle en degrés. L’unité de l’angle de Système International (SI) est le radian. L’angle en radians est non dimensionnel, c’est à dire sans unité. L’angle x peut avoir des valeurs depuis zéro jusqu’à 360 degrés ou 2Pi radians, mais il est laissé obtenir aussi des valeurs plus grands que 2Pi et moins grands que zéro tant que son espace couvre touts les nombres décimaux positifs et négatifs. Tan(x) est toujours un nombre non dimensionnel. Quand x avance de zéro vers Pi/2, c’est à dire, s’approche de l’angle droit, Tan(x) obtient les valeurs de zéro à l´infini positif. En passant l’angle Pi/2, Tan(x) fait un immense saut de l’infini positif à l’infini négatif, puis avance vers Pi (180 degrés) où il retourne à zéro. Pendant cette moitié du trajet, Tan(x) obtient toutes les même valeurs qu’avant mais cette fois elles sont négatives. Quand x continue à grandir vers 3Pi/2 et puis vers 2Pi, les valeurs de Tan(x) sont la répétition des valeurs précédentes, le fait qui manifeste que Tan(x) a la période Pi.

Les palindromes numériques sont des suites de nombres entiers. Pour que Tan(x) soit intéressant au contexte de palindromes, la variable continue x est remplacé par n = 1, 2, 3, … et Tan(n) est converti en nombre entier par un opérateur approprié comme Floor. Par définition, Floor(Tan(n)) désigne le plus grand entier qui est moins de Tan(n). Si Tan(n) est positive, il est simplement délivré des décimales. Par exemple, si n = 4, Tan(4) = 1.15782… et Floor(Tan(4)) = 1, mais si n = 3, Tan(3) = -0.142547… et Floor(Tan(3)) = -1.

Grace à la périodicité de Tan(x) on pourrait attendre du comportement périodique aussi dans Floor(Tan(n)). Mais il a apparu que strictement dit cela n’est pas le cas. J’ai réussi de trouver pourtant une formule pour une sorte de périodicité (”nested periodicity”) qui a été publié dans OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences). Mais certes, il y a des palindromes au dedans des suites que forme Floor(Tan(n)). Cette année j’ai publié une dizaine de nouveaux papiers dans OEIS qui illustrent le comportement de ces palindromes, ce comment ils grandissent de façon monotone en fonction de n, etc. Pour manifester comment est-ce que j’ai trouvé ces palindromes il est nécessaire de remonter à quelques suites de nombres entiers initiales. 

Si n = 1, 2, 3, …, Floor(Tan(n)) = 1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, …, qui est la suite publié à OEIS par Neil Sloane en 2006. En 2015 j’ai présenté la conjecture que l’application itérative des opérateurs ainsi Floor(Tan(Floor(Tan(…Floor(Tan(n))…)))) réduit cette suite enfin en suite composée seulement des zéros et des unes: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …. Dans la suite réduite (A258024 à OEIS) la distribution des unes semble plus intéressante parce que leur proportion est beaucoup moins que celle des zeros. On peut remarquer qu’il y des unes déjà dans la suite originale. 

Les emplacements des unes dans la suite Floor(Tan(n)) sont en effet les racines de l’équation Floor(Tan(n)) = 1. Ces nombres, positifs et négatifs, suscitent de nouvelles suites dont la suivante est composé des racines positives (racine):

racine = 1, 4, 23, 26, 45, 48, 67, 70, 89, 92, 111, 114, 133, 136, 155, 158, 177, … 

Ceci est le A293698 dans OEIS, publiée le 15 Oct 2017. C’est maintenant qu’on peut entrer au monde des palindromes. Les différences (diff) entre ces nombres positifs suscitent une nouvelle suite intéressante qui se trouve sous A293700 à OEIS:

diff = 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 16, …

La suite est infinie et composée de trois entiers: 3, 16 et 19. On voit immédiatement qu’elle contient des fragments palindromes de longueurs variées. La plus longue est la suite des différences (diff), le plus long est le plus long fragment palindrome (pal) qu’elle contient. La longueur du palindrome le plus long (longpal) en fonction de la longueur de la suite des différences (longdiff) est la suite nouvelle qui informe du comportement du palindrome. Elle se trouve sous A293701 à OEIS. Ma conjecture est que le palindrome s’accroit sans limite. Voici la façon de laquelle il s’allonge au début.

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) ou (19) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et longpal = 3.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) ou (19, 3,19) et longpal = 3.

Le début de la suite longpal est alors: 1, 1, 3, 3, … Sur la base de cet initial comportement de la longueur, aucun raisonnement est possible sur ce qui suivra à long terme sinon ma conjecture que le palindrome s’accroit sans limite. La suite longpal a l’index A293701 à OEIS. 

longpal = 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 13, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, …

Les graphes suivants démontrent que l’accroissement du palindrome progresse d’une phase stable à l’autre et que de temps en temps les deux lignes touchent l’un l’autre, la longueur du palindrome étant égale de celle de la suite des différences, autrement dit, toute la suite des différences étant ainsi momentanément palindrome.

Fig.1. longpal 1...100

Fig.2. longpal 1...1400

Fig.3. longpal 1...10000

Cliquer pour clarifier.  Pour examiner des détails dans Fig.1, magnifier  ceci.

Ce n’est pas seulement l’évolution de la longueur du palindrome qui intéresse. Puisque la suite des différences est normalement plus longue que le palindrome qu’elle contient, ce dernier peut s’y déplacer de plusieurs manières au cours de son processus d’allongement. C’est justement cette migration au dedans de l’espace disponible qui intéresse. Grace à la symétrie de palindrome il est possible de spécifier la transition à chaque fois par rapport à la position de son point de symétrie. Alors que la transition est vers la gauche, elle est définie négative. Voici les transitions initiales:

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et transition = 0.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) et transition = -1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et et transition = 0.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) et transition = -1.

La transition du palindrome en fonction de la longueur de la suite des différences est la suite A293704 en OEIS.

transition = 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, -14, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, 

Fig.4. transition 1...150.

Fig.5. transition 1...2500.

Fig.6. transition 1...10000.

Cliquer pour clarifier. Pour examiner 
des détails dans Fig.5, magnifier 
ce lien-ci 





Ce qui reste est de convertir cette histoire en musique. Mais c'est un autre projet.

Ce que je pensais aujourd'hui

Angoissé par des coups rases constants des vieilles forêts privées de l’isthme entre Järventaustantie et le Parc National de Nuuksio, j’ai participé à la conversation sur la page de Raaseporin luonto. On y a présenté de la critique contre la politique de l’Administration de Sipilä influencée par les ambitions du Centre et les besoins de l’industrie visées à augmenter l'exploitation de bois. Ce n’est pas seulement les coups de forêts mais aussi les creusements de drains et l’utilisation des machines lourdes qui menacent la nature.  La terre sera mutilée et les drains conduisent des métaux lourds au lacs. Tout ça appauvrie la biodiversité. En plus ils ne sont pas des actions pour maitriser le changement climatique.

J’avais décidé de dire quelque chose de sage. Voici le texte que j’ai envoyé à Raasepori.

C’était l’homme même (Carl Linnaeus) qui avait baptiser notre espèce de Homo en sapiens, signifiant sage, le fait de la part de l'espèce de Homo qui manifeste que l’homme n’est pas sage. L’homme pourrait être sage s’il avait la capacité de la pensée holiste. L’obstacle de la sagesse est notre patrimoine, génétique et culturelle, qui contient la prédisposition à l’auto-illusion. Sipilä a des buts partiels sages, mais pas de la sagesse. Le reste se perd dans la brume d’auto-illusion. De même façon peut-on dire sur n’importe qui - disons Niinistö (nommez l´un d’eux ou les tout) ou moi-même ou … Le nom latin du l’homme devrait être Homo sapiens potentialis! Est-ce que ceci soit sagement dit? Enfin, voici la citation d’un penseur inconnu: "Unless we change we'll get to where we're going, and faster than we think.”

Que faire? Rien. Parce qu’il y a maintenant cette pression politique et que les propriétaires de forêts privées, auxquelles le bois n’est que de l’argent, sont trop nombreux.

Entre Järventaustantie et le lac Poikkipuoliainen il y a la colline rocheuse oblongue aux vieux pins qui est en train de devenir isolé du Parc National de Nuuksio à cause des abattages. Quelques espèces d’animaux, comme grand tétras, qui se trouvaient dans cette région il y a dix années n’ont plus apparu.

Grand tetras mâle devant la maison 25 avril 2011.

Pendant les dernières trois années on n’a pas entendu le hulotte. J’espère que cela ne soit que de la variation normale. Cette année l’écureuil volant s’est installée dans notre réserve naturelle qui est la bonne nouvelle, mais si les abattages continuent, la région deviendra trop petite pour la nidification.

Crottes de l'écureuil volant, 18 avril 2018.

Une autre bonne nouvelle sont les visites régulières de lynx. Chaque hiver après la neige ses traces apparaissent. Cette été je trouvais près de la maison le cadavre du lièvre dont la tête était absente. Quelques chasseurs savaient que c'est le lynx, sinon le grand duc, qui a l'habitude de ce genre. Le lendemain le corps avait disparu, seulement les pieds rongés étaient laissés.

Trois de ses pieds 14 sept 2018.

Le lièvre sans tête 13 sept 2018.

En 2014 nous avion la trouvaille similaire. Pas loin de la maison au bord du marais de pins nous trouvions les pieds frais du cariacou mais le reste du corps avec la tête ne se trouvait nullepart. Juste à côté il y avait un tas de terre et autour du tas des traces de raclage. On sait que le lynx et l'ours couvrent les restes comme ça mais ce dernier animal n'était pas considéré probable.

Mais la sensation exaltante, en ce qui concerne le lynx, était le suivant. En août d'été 2017 au crépuscule en regardant la télé dans le séjour, je remarquais soudain un jeune lynx se promenant tranquillement à la distance de cinq mètres - et après un instance un autre de la même taille! J'ai réussi de filmer par l'autre fenêtre ce dernier mais tout à fait trop tard. Voici pourtant le résultat pour la pièce de conviction malgré sa pauvre qualité. À l'arrière-plan on entend le reportage de l'événement de sport et voit la réflexion de l'écran. On peut observer aussi à la fin du film mon état de confusion :-)

Il vaux mieux utiliser full screen pour voir quelque chose!

Deux vieillards dans la vallée de Siuntionjoki

Au printemps cette année, Tringa, la Société Ornitologique de la Région de Helsinki, organisait en coopération avec Hakki, la Société Ornitologique de Lohja, le recensement des oiseaux dans quelques régions spécifiques aux communes occidentaux comme Siuntio et Lohja. Le but du projet était l'estimation, mis à jour, du nombre des territoires des espèces considérées intéressantes. Le but et la réalisation étaient ainsi similaires au recensement des oiseaux de Nuuksio il y a trois ans. Pour cette fois les migrateurs étaient ignorés.

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Le recensement était effectué en trois visites sur le site entre la fin d'avril, après la fonte des étangs, et le début de juin, quand les arbres et buissons ont des feuilles. En outre ces visites "officielles" il était possible (bien sûr) de faire des visites complémentaires. Mon "équipe" était composé de Leila, ma femme, et moi. On a fait six visites dont deux par moi seule. Les visites "officielles" commençaient au lever de soleil et prenaient environ cinq heures. Vers le midi l'intensité de l'activité de la plupart des oiseaux diminue assez rapidement. Pendant les cinq heures toute espace doit être surveillée qui signifie qu'on ne pouvait pas s'arrêter pour admirer trop longtemps des miracles vernaux de la nature renaissante.

Au milieu d'avril le cours d'eau était fort, même furieux dans le rapide de Sågarsfors (Rapide de Scieur) tant que dans son voisinage immédiat il n'était pas possible d'entendre le son des oiseaux. Au début de juin l'écoulement en amont de Skogsforsen (Rapide de Forêt) était déjà réduit et tranquille.

L'espace au bord de l'est est une pente assez raide comprenant la réserve naturelle pour la protection de la forêt de feuillus (deux contours verts) entouré par la vieille forêt de conifères avec de grands trembles (Populus tremula, haapa) et bouleaux (Betula, koivu). Ensemble, la rivière et le bord de l'est forment une totalité où enfin la végétation et les territoires des oiseaux ne respectent pas des contours sur la carte. La progression de l'homme dans la vieille forêt est entravé par des troncs et branches desséchés tombés par terre. 

Il y avait encore de la neige le 13 d'avril.

Une des activités de protection dans la réserve naturelle a été l'élimination des sapins (Picea, kuusi). Pour les grands sapins on a utilisé la mise à mort ralentie par coupant la route de l'eau et des nutriments depuis les racines avec pour résultat que l'arbre se dessèche mais reste debout. Plus tard ces troncs au milieu de la forêt de feuillus peuvent fournir des cavités à quelques espèces d'oiseaux.


Dans la forêt des feuillus le sol est riche, le fait qui est manifesté par la présence de plusieurs fleurs typiques comme cette pulmonaire (Pulmonaria obscura, lehtoimikkä).

La végétation près de la rive est dense et dominée par des buissons de merisier à grappe (Prunus parus, tuomi). Cette espèce a la capacité de remplir toute espace disponible par ses branches et ainsi de former des fourrés impénétrables pour l'homme. Au même temps, cette même végétation était surtout favorisée par deux espèces de Sylvia: fauvette des jardins (Sylvia borin, lehtokerttu) et fauvette à tête noire (Sylvia atricapilla, mustapääkerttu). 

C'est ici, le 8 de juin, que la première fauvette des jardins était entendu.

L'observation des oiseaux était entravé par plusieurs facteurs. La difficulté d'avancer prenait beaucoup d'attention. La densité de la végétation dissimulait les oiseaux, et l'air était pleine de chant fort des espèces qui était en de hors du recensement, comme pinson des arbres (Fringilla coelebs, peippo), merle noire (Turdus merula, mustarastas), grive musicienne (Turdus filomelos, laulurastas) et rougegorge familier (Erithacus rubecula, punarinta). Heureusement avec des vidéos et enregistrements il était possible d'examiner des sons plus tard à la maison.

L'espèce d'oiseau qui dominaient la région en se trouvant partout était sans doute le minuscule pouillot siffleur (Phylloscopus sibilatrix, sirittäjä). J'avais attendu de rencontrer le grimpereau des bois (Certhia familiaris, puukiipijä) et surtout le troglodyte mignon (Troglodytes troglodytes, peukaloinen) qui était très nombreux dans la vallée de Myllyjoki dans Nuuksio il y a trois ans, mais en vain. Grace à la présence des arbres pourris, trois espèces de pic avaient ses territoires dans la région: pic épeiche (Denroscopos major, käpytikka), pic épeichette (Dryobates minor, pikkutikka) et pic noir (Dryocopus martius, palokärki). Aucune signe sur pic cendré (Picus canus, harmaapäätikka), cette espèce indicateur de Nuuksio, n'a apparu bien qu'il aime grands trembles - comme fait le pigeon colombin (Columba oenas, uuttukyyhky). Il était joli d'écouter le chant compétitif de deux différents pigeons, le colombin et le beaucoup plus commun pigeon ramier (Columba palumbus, sepelkyyhky). Absolument la plus mémorable trouvaille était le couple de grue cendrée (Grus grus, kurki) sur son nid. Nous avions avancé un peu en dehors du contour bleu et par hasard nous trouvé sur une colline rocheuse au pied de laquelle il y avait un petit étang. Au milieu de l'étang il était une île, évidemment flottante, d'où le mâle prenait sa vole et la femelle barbotait à l'autre coté de l'étang et se cachait derrière des arbres. Malgré la distance on pouvait distinguer deux oeufs. Nous nous en sommes allé aussi vite que possible.

Les résultats du recensement étaient rapportés à Tringa en juillet dans le format donné. L'évaluation des territoires est l'effort le plus exigeant. Je développais une méthode pour la faciliter. Les observations de chacune espèce pendant les six visites sont intégrées graphiquement sur la carte. S'il s'y forme des agglomérats locales des observations, il doit être plus facile de faire des conclusions. Les problèmes intrinsèques, comme le petit nombre des observations et le fait qu'une territoire peut être large, ne sont pas éliminées. En effet, il n'y a qu'une seule preuve absolue, la nidification assurée.

Voici toutes les observations de pic épeiche. Les premières sont du matin le 20 d'avril, l'une au nord, l'autre au sud une heure et demi plus tard. Déjà sur la base de ses deux premières observations, on pourrait deviner que c'est la question de deux individus. Finalement autour la première observation au nord il s'y formait une agglomerat comprenant la découverte du nid le 27 de mai. La conclusion est qu'il y a certainement une territoire de pic épeiche dans cette région et bien possiblement deux - au minimum.

Ce n'était pas si sérieux. Mais certes était-il fatiguant.

                                                         






             

Ma première composition musicale palindrome

Inspiré par la composition de J.S. Bach ”Canon cancrizans” j’avais déjà écrit la première version des paroles palindromes de cette pièce palindrome unique. Plus récemment j’ai produit d’autre versions de paroles, aussi palindromes, dont le thème est le processus de composition de Bach en produisant cette pièce. Toujours en finnois, ces dernières décrivent des conversations imaginées entre le roi jeune de Prusse, Frédéric II, et Bach, et aussi des pensées de Bach pendant ses efforts créatifs. C’est canon à deux voix, ainsi il y a les paroles pour chacune.

Mon idée de composer ma première pièce musicale palindrome est basée sur ces paroles palindromes: si je convertissais chaque lettre de paroles en une note musicale spécifique, le résultat serait un ensemble palindrome des notes, c’est à dire, une sorte de composition musicale palindrome. La question reste comment réaliser cette conversion. Possiblement le nombre de possibilités est sans limite et parmi eux, quelques-unes peuvent s’avérer d’avoir de la valeur musicale.

La conversion depuis lettres aux notes commence par attribuant à chaque lettre une hauteur de voix correspondante. Chaque choix produira un ensemble de notes different, toujours palindrome. La durée de la note ainsi produite peut être déterminée par la durée de tel mot ou de telle syllabe où la lettre utilisée fait la part. Naturellement le choix libre de la durée donnerait des variantes illimitées, conservant la structure palindrome de la succession des notes en ce qui concerne leur hauteur, mais le rythme de la pièce d'origine sera perdu.

Je commençais à expérimenter avec la conversion depuis lettres aux notes en utilisant la méthode purement statistique. À partir de la densité des lettres individuelles dans la totalité de lettres dans les deux paroles je suis arrivé à une correspondance spécifique, qui n’est pourtant qu’un choix arbitraire parmi plusieurs autres correspondances. J’ai décidé de conserver le rythme et ainsi le nombre de mesures de la composition de Bach. Ça signifie que la durée de la note nouvelle devient déterminé par la durée de la voix chantée. Par exemple, la syllabe TAU en chantant le canon cancrizans est associée a la note blanche. Convertie en trois notes qui correspondent aux lettres T, A et U, la durée de chacune ne sera qu’une troisième de blanche, qui exige que l’ensemble doit être réalisé en triolet ou combinaison d’une noire et d’une double croche. Un spécimen de ma composition peut être vu ci-dessous. Je l’ai baptisé après plusieurs écoutes "Apitoiement sur soi-même".

Une nouvelle réserve naturelle

Le texte suivant est la traduction de l’article récent publié le 6 février 2018 dans le journal local Luoteis-Uusimaa.

"Une nouvelle réserve naturelle va être fondée à Järventausta au bord du lac Poikkipuoliainen. Uudenmaan ELY-keskus a décidé de fonder la réserve naturelle de plus de 4 hectares, de l’initiative des propriétaires fonciers Leila et Veikko Pohjola. Cette espace est majoritairement de la forêt rocheuse dominée par pin. La forêt est caractérisée par des pins vieux, à l’écorce de carapace, et des arbres desséchés debout. Il y a des arbres pourris, autant debout que sur terre. Dans la dépression entre les collines rocheuses se trouve un petit marais de pin en état naturel. Dans le terrain, la coupe sera interdite. Aussi, selon la décision de protection, seront interdits le creusement de drains, l’enlèvement de terre, le ramassage des arbres, des buissons et d’autres plantes, comme aussi des champignons."

           

              Pöllökallio (Roche d'hibou)

Ecorce à plaque (kilpikaarna)