L’histoire d'un palindrome

Cette histoire a son début dans la géométrie, spécifiquement dans une des fonctions de base de la trigonométrie, le tangent. Déjà les écoliers connaissent ce que signifie tan(x) où x désigne l’angle en degrés. L’unité de l’angle de Système International (SI) est le radian. L’angle en radians est non dimensionnel, c’est à dire sans unité. L’angle x peut avoir des valeurs depuis zéro jusqu’à 360 degrés ou 2Pi radians, mais il est laissé obtenir aussi des valeurs plus grands que 2Pi et moins grands que zéro tant que son espace couvre touts les nombres décimaux positifs et négatifs. Tan(x) est toujours un nombre non dimensionnel. Quand x avance de zéro vers Pi/2, c’est à dire, s’approche de l’angle droit, Tan(x) obtient les valeurs de zéro à l´infini positif. En passant l’angle Pi/2, Tan(x) fait un immense saut de l’infini positif à l’infini négatif, puis avance vers Pi (180 degrés) où il retourne à zéro. Pendant cette moitié du trajet, Tan(x) obtient toutes les même valeurs qu’avant mais cette fois elles sont négatives. Quand x continue à grandir vers 3Pi/2 et puis vers 2Pi, les valeurs de Tan(x) sont la répétition des valeurs précédentes, le fait qui manifeste que Tan(x) a la période Pi.

Les palindromes numériques sont des suites de nombres entiers. Pour que Tan(x) soit intéressant au contexte de palindromes, la variable continue x est remplacé par n = 1, 2, 3, … et Tan(n) est converti en nombre entier par un opérateur approprié comme Floor. Par définition, Floor(Tan(n)) désigne le plus grand entier qui est moins de Tan(n). Si Tan(n) est positive, il est simplement délivré des décimales. Par exemple, si n = 4, Tan(4) = 1.15782… et Floor(Tan(4)) = 1, mais si n = 3, Tan(3) = -0.142547… et Floor(Tan(3)) = -1.

Grace à la périodicité de Tan(x) on pourrait attendre du comportement périodique aussi dans Floor(Tan(n)). Mais il a apparu que strictement dit cela n’est pas le cas. J’ai réussi de trouver pourtant une formule pour une sorte de périodicité (”nested periodicity”) qui a été publié dans OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences). Mais certes, il y a des palindromes au dedans des suites que forme Floor(Tan(n)). Cette année j’ai publié une dizaine de nouveaux papiers dans OEIS qui illustrent le comportement de ces palindromes, ce comment ils grandissent de façon monotone en fonction de n, etc. Pour manifester comment est-ce que j’ai trouvé ces palindromes il est nécessaire de remonter à quelques suites de nombres entiers initiales. 

Si n = 1, 2, 3, …, Floor(Tan(n)) = 1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, …, qui est la suite publié à OEIS par Neil Sloane en 2006. En 2015 j’ai présenté la conjecture que l’application itérative des opérateurs ainsi Floor(Tan(Floor(Tan(…Floor(Tan(n))…)))) réduit cette suite enfin en suite composée seulement des zéros et des unes: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …. Dans la suite réduite (A258024 à OEIS) la distribution des unes semble plus intéressante parce que leur proportion est beaucoup moins que celle des zeros. On peut remarquer qu’il y des unes déjà dans la suite originale. 

Les emplacements des unes dans la suite Floor(Tan(n)) sont en effet les racines de l’équation Floor(Tan(n)) = 1. Ces nombres, positifs et négatifs, suscitent de nouvelles suites dont la suivante est composé des racines positives (racine):

racine = 1, 4, 23, 26, 45, 48, 67, 70, 89, 92, 111, 114, 133, 136, 155, 158, 177, … 

Ceci est le A293698 dans OEIS, publiée le 15 Oct 2017. C’est maintenant qu’on peut entrer au monde des palindromes. Les différences (diff) entre ces nombres positifs suscitent une nouvelle suite intéressante qui se trouve sous A293700 à OEIS:

diff = 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 16, …

La suite est infinie et composée de trois entiers: 3, 16 et 19. On voit immédiatement qu’elle contient des fragments palindromes de longueurs variées. La plus longue est la suite des différences (diff), le plus long est le plus long fragment palindrome (pal) qu’elle contient. La longueur du palindrome le plus long (longpal) en fonction de la longueur de la suite des différences (longdiff) est la suite nouvelle qui informe du comportement du palindrome. Elle se trouve sous A293701 à OEIS. Ma conjecture est que le palindrome s’accroit sans limite. Voici la façon de laquelle il s’allonge au début.

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) ou (19) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et longpal = 3.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) ou (19, 3,19) et longpal = 3.

Le début de la suite longpal est alors: 1, 1, 3, 3, … Sur la base de cet initial comportement de la longueur, aucun raisonnement est possible sur ce qui suivra à long terme sinon ma conjecture que le palindrome s’accroit sans limite. La suite longpal a l’index A293701 à OEIS. 

longpal = 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 13, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, …

Les graphes suivants démontrent que l’accroissement du palindrome progresse d’une phase stable à l’autre et que de temps en temps les deux lignes touchent l’un l’autre, la longueur du palindrome étant égale de celle de la suite des différences, autrement dit, toute la suite des différences étant ainsi momentanément palindrome.

Fig.1. longpal 1...100

Fig.2. longpal 1...1400

Fig.3. longpal 1...10000

Cliquer pour clarifier.  Pour examiner des détails dans Fig.1, magnifier  ceci.

Ce n’est pas seulement l’évolution de la longueur du palindrome qui intéresse. Puisque la suite des différences est normalement plus longue que le palindrome qu’elle contient, ce dernier peut s’y déplacer de plusieurs manières au cours de son processus d’allongement. C’est justement cette migration au dedans de l’espace disponible qui intéresse. Grace à la symétrie de palindrome il est possible de spécifier la transition à chaque fois par rapport à la position de son point de symétrie. Alors que la transition est vers la gauche, elle est définie négative. Voici les transitions initiales:

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et transition = 0.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) et transition = -1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et et transition = 0.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) et transition = -1.

La transition du palindrome en fonction de la longueur de la suite des différences est la suite A293704 en OEIS.

transition = 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, -14, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, 

Fig.4. transition 1...150.

Fig.5. transition 1...2500.

Fig.6. transition 1...10000.

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des détails dans Fig.5, magnifier 
ce lien-ci 





Ce qui reste est de convertir cette histoire en musique. Mais c'est un autre projet.

Ce que je pensais aujourd'hui

Angoissé par des coups rases constants des vieilles forêts privées de l’isthme entre Järventaustantie et le Parc National de Nuuksio, j’ai participé à la conversation sur la page de Raaseporin luonto. On y a présenté de la critique contre la politique de l’Administration de Sipilä influencée par les ambitions du Centre et les besoins de l’industrie visées à augmenter l'exploitation de bois. Ce n’est pas seulement les coups de forêts mais aussi les creusements de drains et l’utilisation des machines lourdes qui menacent la nature.  La terre sera mutilée et les drains conduisent des métaux lourds au lacs. Tout ça appauvrie la biodiversité. En plus ils ne sont pas des actions pour maitriser le changement climatique.

J’avais décidé de dire quelque chose de sage. Voici le texte que j’ai envoyé à Raasepori.

C’était l’homme même (Carl Linnaeus) qui avait baptiser notre espèce de Homo en sapiens, signifiant sage, le fait de la part de l'espèce de Homo qui manifeste que l’homme n’est pas sage. L’homme pourrait être sage s’il avait la capacité de la pensée holiste. L’obstacle de la sagesse est notre patrimoine, génétique et culturelle, qui contient la prédisposition à l’auto-illusion. Sipilä a des buts partiels sages, mais pas de la sagesse. Le reste se perd dans la brume d’auto-illusion. De même façon peut-on dire sur n’importe qui - disons Niinistö (nommez l´un d’eux ou les tout) ou moi-même ou … Le nom latin du l’homme devrait être Homo sapiens potentialis! Est-ce que ceci soit sagement dit? Enfin, voici la citation d’un penseur inconnu: "Unless we change we'll get to where we're going, and faster than we think.”

Que faire? Rien. Parce qu’il y a maintenant cette pression politique et que les propriétaires de forêts privées, auxquelles le bois n’est que de l’argent, sont trop nombreux.

Entre Järventaustantie et le lac Poikkipuoliainen il y a la colline rocheuse oblongue aux vieux pins qui est en train de devenir isolé du Parc National de Nuuksio à cause des abattages. Quelques espèces d’animaux, comme grand tétras, qui se trouvaient dans cette région il y a dix années n’ont plus apparu.

Grand tetras mâle devant la maison 25 avril 2011.

Pendant les dernières trois années on n’a pas entendu le hulotte. J’espère que cela ne soit que de la variation normale. Cette année l’écureuil volant s’est installée dans notre réserve naturelle qui est la bonne nouvelle, mais si les abattages continuent, la région deviendra trop petite pour la nidification.

Crottes de l'écureuil volant, 18 avril 2018.

Une autre bonne nouvelle sont les visites régulières de lynx. Chaque hiver après la neige ses traces apparaissent. Cette été je trouvais près de la maison le cadavre du lièvre dont la tête était absente. Quelques chasseurs savaient que c'est le lynx, sinon le grand duc, qui a l'habitude de ce genre. Le lendemain le corps avait disparu, seulement les pieds rongés étaient laissés.

Trois de ses pieds 14 sept 2018.

Le lièvre sans tête 13 sept 2018.

En 2014 nous avion la trouvaille similaire. Pas loin de la maison au bord du marais de pins nous trouvions les pieds frais du cariacou mais le reste du corps avec la tête ne se trouvait nullepart. Juste à côté il y avait un tas de terre et autour du tas des traces de raclage. On sait que le lynx et l'ours couvrent les restes comme ça mais ce dernier animal n'était pas considéré probable.

Mais la sensation exaltante, en ce qui concerne le lynx, était le suivant. En août d'été 2017 au crépuscule en regardant la télé dans le séjour, je remarquais soudain un jeune lynx se promenant tranquillement à la distance de cinq mètres - et après un instance un autre de la même taille! J'ai réussi de filmer par l'autre fenêtre ce dernier mais tout à fait trop tard. Voici pourtant le résultat pour la pièce de conviction malgré sa pauvre qualité. À l'arrière-plan on entend le reportage de l'événement de sport et voit la réflexion de l'écran. On peut observer aussi à la fin du film mon état de confusion :-)

Il vaux mieux utiliser full screen pour voir quelque chose!