L’histoire d'un palindrome

Cette histoire a son début dans la géométrie, spécifiquement dans une des fonctions de base de la trigonométrie, le tangent. Déjà les écoliers connaissent ce que signifie tan(x) où x désigne l’angle en degrés. L’unité de l’angle de Système International (SI) est le radian. L’angle en radians est non dimensionnel, c’est à dire sans unité. L’angle x peut avoir des valeurs depuis zéro jusqu’à 360 degrés ou 2Pi radians, mais il est laissé obtenir aussi des valeurs plus grands que 2Pi et moins grands que zéro tant que son espace couvre touts les nombres décimaux positifs et négatifs. Tan(x) est toujours un nombre non dimensionnel. Quand x avance de zéro vers Pi/2, c’est à dire, s’approche de l’angle droit, Tan(x) obtient les valeurs de zéro à l´infini positif. En passant l’angle Pi/2, Tan(x) fait un immense saut de l’infini positif à l’infini négatif, puis avance vers Pi (180 degrés) où il retourne à zéro. Pendant cette moitié du trajet, Tan(x) obtient toutes les même valeurs qu’avant mais cette fois elles sont négatives. Quand x continue à grandir vers 3Pi/2 et puis vers 2Pi, les valeurs de Tan(x) sont la répétition des valeurs précédentes, le fait qui manifeste que Tan(x) a la période Pi.

Les palindromes numériques sont des suites de nombres entiers. Pour que Tan(x) soit intéressant au contexte de palindromes, la variable continue x est remplacé par n = 1, 2, 3, … et Tan(n) est converti en nombre entier par un opérateur approprié comme Floor. Par définition, Floor(Tan(n)) désigne le plus grand entier qui est moins de Tan(n). Si Tan(n) est positive, il est simplement délivré des décimales. Par exemple, si n = 4, Tan(4) = 1.15782… et Floor(Tan(4)) = 1, mais si n = 3, Tan(3) = -0.142547… et Floor(Tan(3)) = -1.

Grace à la périodicité de Tan(x) on pourrait attendre du comportement périodique aussi dans Floor(Tan(n)). Mais il a apparu que strictement dit cela n’est pas le cas. J’ai réussi de trouver pourtant une formule pour une sorte de périodicité (”nested periodicity”) qui a été publié dans OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences). Mais certes, il y a des palindromes au dedans des suites que forme Floor(Tan(n)). Cette année j’ai publié une dizaine de nouveaux papiers dans OEIS qui illustrent le comportement de ces palindromes, ce comment ils grandissent de façon monotone en fonction de n, etc. Pour manifester comment est-ce que j’ai trouvé ces palindromes il est nécessaire de remonter à quelques suites de nombres entiers initiales. 

Si n = 1, 2, 3, …, Floor(Tan(n)) = 1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, …, qui est la suite publié à OEIS par Neil Sloane en 2006. En 2015 j’ai présenté la conjecture que l’application itérative des opérateurs ainsi Floor(Tan(Floor(Tan(…Floor(Tan(n))…)))) réduit cette suite enfin en suite composée seulement des zéros et des unes: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …. Dans la suite réduite (A258024 à OEIS) la distribution des unes semble plus intéressante parce que leur proportion est beaucoup moins que celle des zeros. On peut remarquer qu’il y des unes déjà dans la suite originale. 

Les emplacements des unes dans la suite Floor(Tan(n)) sont en effet les racines de l’équation Floor(Tan(n)) = 1. Ces nombres, positifs et négatifs, suscitent de nouvelles suites dont la suivante est composé des racines positives (racine):

racine = 1, 4, 23, 26, 45, 48, 67, 70, 89, 92, 111, 114, 133, 136, 155, 158, 177, … 

Ceci est le A293698 dans OEIS, publiée le 15 Oct 2017. C’est maintenant qu’on peut entrer au monde des palindromes. Les différences (diff) entre ces nombres positifs suscitent une nouvelle suite intéressante qui se trouve sous A293700 à OEIS:

diff = 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 16, …

La suite est infinie et composée de trois entiers: 3, 16 et 19. On voit immédiatement qu’elle contient des fragments palindromes de longueurs variées. La plus longue est la suite des différences (diff), le plus long est le plus long fragment palindrome (pal) qu’elle contient. La longueur du palindrome le plus long (longpal) en fonction de la longueur de la suite des différences (longdiff) est la suite nouvelle qui informe du comportement du palindrome. Elle se trouve sous A293701 à OEIS. Ma conjecture est que le palindrome s’accroit sans limite. Voici la façon de laquelle il s’allonge au début.

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) ou (19) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et longpal = 3.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) ou (19, 3,19) et longpal = 3.

Le début de la suite longpal est alors: 1, 1, 3, 3, … Sur la base de cet initial comportement de la longueur, aucun raisonnement est possible sur ce qui suivra à long terme sinon ma conjecture que le palindrome s’accroit sans limite. La suite longpal a l’index A293701 à OEIS. 

longpal = 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 13, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, …

Les graphes suivants démontrent que l’accroissement du palindrome progresse d’une phase stable à l’autre et que de temps en temps les deux lignes touchent l’un l’autre, la longueur du palindrome étant égale de celle de la suite des différences, autrement dit, toute la suite des différences étant ainsi momentanément palindrome.

Fig.1. longpal 1...100

Fig.2. longpal 1...1400

Fig.3. longpal 1...10000

Cliquer pour clarifier.  Pour examiner des détails dans Fig.1, magnifier  ceci.

Ce n’est pas seulement l’évolution de la longueur du palindrome qui intéresse. Puisque la suite des différences est normalement plus longue que le palindrome qu’elle contient, ce dernier peut s’y déplacer de plusieurs manières au cours de son processus d’allongement. C’est justement cette migration au dedans de l’espace disponible qui intéresse. Grace à la symétrie de palindrome il est possible de spécifier la transition à chaque fois par rapport à la position de son point de symétrie. Alors que la transition est vers la gauche, elle est définie négative. Voici les transitions initiales:

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et transition = 0.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) et transition = -1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et et transition = 0.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) et transition = -1.

La transition du palindrome en fonction de la longueur de la suite des différences est la suite A293704 en OEIS.

transition = 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, -14, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, 

Fig.4. transition 1...150.

Fig.5. transition 1...2500.

Fig.6. transition 1...10000.

Cliquer pour clarifier. Pour examiner 
des détails dans Fig.5, magnifier 
ce lien-ci 





Ce qui reste est de convertir cette histoire en musique. Mais c'est un autre projet.

Les maths et la musique

On sait qu’il existe un lien entre les maths et la musique. On l’a su dès l’antiquité, depuis les jours de Pythagore qui considérait même que la musique est une des mathématiques, comme sont l’astronomie, la géométrie et l’arithmétique. Les compositeurs ont été nombreux qui s’intéressaient des maths et utilisaient des trucks mathématiques dans leur compositions. Et plusieurs mathématiciens ont été amateurs de musique. 

Techniquement le lien entre les maths et la musique est simple quand on parle des suites de nombres entiers. Chaque nombre peut être symbolisé par la note de musique, dont la hauteur corresponde celle du nombre. Souvent les suites de nombres sont monotones ou autrement mal structurés tant qu’ils n’offrent ou ne semblent offrir rien d’intéressant pour être convertis aux sons. D’autre part si la structure de la suite exhibe des formes répétées, on peut attendre quelque chose qui peut ressembler à la musique. On a trouvé des polyrythmes fascinants par exemple dans les nombres de Fibonacci. 

J’ai récemment expérimenté avec une suite que j’ai produit avant à partir du fonction trigonométrique tan(n). Ici, même n désigne un entier 0, 1, 2, 3, ..., sa tangent reste décimal et doit ainsi être remise en entier. Ca s’effectue simplement en omettant les decimaux par la fonction floor. Maintenant quelque chose d’intéressante s’arrive. Si je prend la tangent de floor(tan(n)) et le remet en entier par floor, et continue de façon répété floor(tan(floor(tan(floor(tan(n)))))) jusquá ce que le résultat ne change plus, la suite limite s’obtient qui est la suite des 0’s et des 1’s. La densité moyenne des 1’s dans la suite est environ 12% et ils s’y sont distribués de façon qui laisse attendre de la musique rythmique et mélodique.

J’ai fait quelques expériences primitives avec Mathematica. Vraiment, en la jouant comme au piano, la suite manifeste le rythme stable avec un thème et variations. Chaque mesure semble être composé de 42 sons formant le thème, qui pourtant ne se répéte jamais similairement.

Palindromes

Les formes de palindrome

se cachant dans les mots

sont fascinantes pour l’homme.

Wagner dirait: Hoo-yooh!

Après cette gauche introduction je serai sérieux. Les palindromes ne se trouvent pas seulement dans les mots ou phrases, mais dans la musique, les nombres, même dans les cellules. Dans cette forme en soi il n’y a rien de mystique, mais les conséquences de la structure palindrome peuvent être étonnantes.

Commençons avec le Crab canon de J.S.Bach. C’est une jolie invention à deux voix pour piano. C’est simple mais géniale parce qu’on peut la jouer sans ètre conscient de la structure palindrome. L’idèe de la structure est la suivante. Le nombre des mesures est 18. C’est alors un palindrome pair, qui a autant de mesures de chaque côté. La deuxième moitie est le reflet de la première mais les mains ont échangé le rôle. Depuis la dixième barre la main gauche joue les même notes que la main droite avait joué jusque là mais dans l’ordre inverse. Une excellente animation peut être trouvé ici.

La structure de Crab canon est identique aux séquences palindromiques de la double hélice de l’ADN. Ils sont des séquences de quatre nucléotides (A, G, C et T, du nom des bases correspondantes), pouvant se lire de la même façon dans les deux sens par rapport à un point central sur les deux brins (par exemple: AACGTT et TTGCAA). On a dit que l' ADN aime à jouer avec les palindromes. Une modification de la structure palindrome lors d’une mutation, par exemple, peut aider de confirmer des maladies génétiques.

Les suites de nombres entiers sont une branche de la théorie élémentaire de nombres. Les nombres entiers palindromes possèdent quelques propriètés intéréssantes mais, selon mon expérience, sont quelquefois seulement ennuyants. J’ai publié à l’OEIS quatre suites de nombres qui chacun générent tous les nombres primaires palindromiques. Aussi ceux-ci je trouve un peu ennuyants. Pourtant la recherche même était passionnante et dûre.

En ce qui concerne la littérature palindrome à prendre sérieux, si elle en existe, elle est rare. La forme palindrome est un véritable défi. On peut comparer cette restriction technique avec ceux qu’on a traditionnellement voulu poser pour la poésie:  le nombre des syllabes, le groupement des vers, la rime, le rytme, le nombre des strophes, etc. La restriction palindrome est si stricte qu’elle laisse peu de liberté à l’ecrivain pour s’exprimer. Ce fait se voit dans les palindromes publiés. C’est plutôt la forme qui contrôle ce qui se produit pendant la création que l’auteur.

À cause de la difficulté de l’auteur à écrire justement ce qu’il voudrait, les phrases palindromes tendent à rester plus ou moins étranges. Les dessins associés sont un moyen pour aider le lecteur à réaliser ce dont il s’agit. Par deux petits livres palindromes en finnois, que j’ai publié, j’ai voulu tester si, après tout, une littérature palindrome serait possible. Le plus récent est un livre illustré d’enfants ”Ella, Kalle - Ellan nalle”. C’est un livre assez ambitieux. Sa cible sont les enfants qui sont en train, ou viennent, d’apprendre à lire. Les enfants sont sans préjugés et pas encore fixées à la lecture de facon linéaire. Je compte sur ca. Pour l’instant l'accueil de la part des enfants semble positive. Au même temps quelques parents ont rapporté sur leurs propres difficultés à comprendre des palindromes, le fait qui peut déranger l'attitude de parent pendant les moments de lecture en commun avec l'enfant.

Ella et Kalle sont grande soeur et petit frère. Tout commence quand Nalle (nounour) apparait sur la porte. Le trio forme une compagnie solidaire. Ils font tout en commun: jouent, subissent des revers, font la cuisine, et finalement s’épuisent. Et le texte sur chaque page est tout en forme de palindrome.

 ©palindromit: Veikko Pohjola
©kuvat: Franz Raschbacher

Des tétraèdres et des orchidées

Le plus récent numéro (2/2013) du magazine finlandais des adeptes des orchidées, Orkidealehti, a publié un article de dix pages basé partiellement sur des trouvailles de l’excursion d’un groupe de quatre personnes aux alpes des Dolomites au milieu du mois de juin en 2012. Le groupe était composé de l’ancien rédacteur en chef du magazine, Tuula Hulkkonen, son époux Matti qui était le photographe principal, ma femme Leila, et moi. Le but de l’excursion, outre que chasser des orchidées et d’autres fleurs alpines, était de faire quotidiennement des randonnées à pied aux paysages pittoresques variés et, comme toujours, conquérir quelques pics. Mais mon but personnel s’est enrichi encore de quelque chose d’autre.

Juste avant le départ, un autre Matti avait lancé sur le site des cruciverbistes et verbicrucistes (j'utilise toujours le pseudonyme Olavi Kivalo à ce sujet) un problème géometrique extrèmement fascinant: Donné un tétraèdre régulier, coupe-le en tranches équidistantes par des plans, parallels à ses quatre faces, tant que les six arêtes deviennent ainsi divisées, chacune, en n pièces égales. Quel est le nombre total des tétraèderes (et possiblement autres polyèdres) de toutes tailles ainsi produits en fonction de n? Quel défi! Surtout parce qu’il semblait clair que personne n’avait résolu ce problème avant. 

La fascination du problème m’avait gagné. J’y réflechissais pendant le vol de Helsinki à Munich et étais obligé d’admettre que la représentation en trois dimensions du tétraèdre est beaucoup plus difficile que celle du cube. Aux Dolomites, les seules moyens auxiliaires étaient le papier et le crayon. 

Pendant des longues, et quelquefois ennuyants efforts vers des pics j’avais le temps. La représentation du tétraèdre initial et ses composants continuait à cristalliser dans ma tête peu à peu. J’ai découvert assez tôt que les composants sont de trois types: des tétraèdres, identiques à l’initial mais ayant ou la même position ou la position opposite, et des octaèdres. Plus tard, j’était capable de prédire comment le nombre des trois type de polyèdres augmente en fonction de n. Pour vérifier ces nombres il m'a fallu dériver par coeur les formules pour les volumes de tétraèdre et octaèdre. Le volume total de tous les composants, d’une taille donnée, doit égaler le volume du tétraèdre initial. Ce qui restait à être fait après le retour, à l’aide de l’ordinateur, était de trouver les fonctions analytiques pour les séquences de nombres des composants différents. Ces séquences se trouvent aujourd’hui publiées (sous mon propre nom) dans l’OEIS, l’encyclopédie en ligne des suites de nombre entiers.

Le musée d'Ortisei abrite une collection de cristaux des roches alpines. Je les avais scruté, un après-midi pluvieux, pour trouver s'il y'en aurait des cristaux de forme de tétraèdre. Je n'avais trouvé aucun. Cela m'a fait soupçonner qu'une telle structure doit être peu profitable énergétiquement et pour cette raison être rare dans la nature. Il y en a pourtant quelques-uns (une espèce minérale appelée tétraèdrite, par exemple), comme je me suis informé plus tard.

L'excursion était un succès outre ce qui concerne des orchidées. J'ai découvert la structure interne du tétraèdre régulier qui confirme que des cristaux de cette forme peuvent se former spontanément. Pourtant, le cristal ne peut pas être constitué uniquement des tétraèdres, comme la cube peut être constituée des cubes. Le fait qui doit mettre la créativité de la nature en preuve.

Conversion du tennis en musique

Le titre semble absurde. Bien sûr est il possible de composer un morceau de musique sur le tennis en tant que sport ou de faire comme les troubadoures anciens, chanter sur des exploits d’un joueur superbe. Mais convertir tennis en musique, qu’est-ce que ca signifie. Et s’il est possible d’une manière quelqonque, comment le mettre à l’execution? 

Pendant les dix années d’Ekitennis, chaque joueur a produit sa personnelle histoire de classement. C’est comme une empreinte de son parcours individuel à travers la succession des match. L’histoire de classement est la séquence des classements dans l’ordre chronologique.

Le classement apres chaque match, R(n), est calculé à Ekitennis sur la base des points gagnés dans le match, x(n), et du classement précédant, R(n-1), selon la simple formule mathématique R(n) = [2*R(n-1) + x(n)]/3. Ainsi le classement présent est toujours dépendant aussi des points gagnés avant. Le poids des points du passée diminue pourtant assez rapidement selon la série géometrique comme on peut raisonner de la formule récursive.

Quand les classements R(n) sont présentés en fonction du temps n on obtien le graphe dont la coordonnée verticale represente le classement et celle horizontale le temps. Le classement oscille au milieu du minimum et du maximum qui à Ekitennis sont fixés à 1 et 4. Après chaque tour le vainqueur gagne 4 points et le perdant 1 point. Le classement n’atteint pourtant jamais ces extrèmes à cause de poids du passée.  

Voici l’histoire de classement d’un joueur anonyme d’Ekitennis:

On peut observer qu’à la place du temps chronologique on utilise le nombre ordinal du tour qui court de 0 à 160. Ca veut dire que le total des tours de doubles depuis la naissance du Ekitennis est maintenant environ 160. Le total des tours de doubles et singles ensemble est ainsi un peu plus de 300.

Voici qu’entre la musique sur la scène. Il est possible, et en effet tout à fait naturel, de considérer le graphe comme la portée musicale où les classements representent des notes. Plus haut le classement, plus haute la note. Cette perspective convertit l’empreinte de la performance en la composition musicale. Il est important de remarquer qu’il n’agit pas d’une interprétation subjective par une autre personne mais c’est le joueur même qui est le compositeur. C’est de la musique, qui est une authentique representation de sa performance personnelle pendant ces dix ans.

Cette morceau de musique ("Ranktime aléatoire") a été présenté au publique au saxophone ténor au festin d'Ekitennis.