L’histoire d'un palindrome

Cette histoire a son début dans la géométrie, spécifiquement dans une des fonctions de base de la trigonométrie, le tangent. Déjà les écoliers connaissent ce que signifie tan(x) où x désigne l’angle en degrés. L’unité de l’angle de Système International (SI) est le radian. L’angle en radians est non dimensionnel, c’est à dire sans unité. L’angle x peut avoir des valeurs depuis zéro jusqu’à 360 degrés ou 2Pi radians, mais il est laissé obtenir aussi des valeurs plus grands que 2Pi et moins grands que zéro tant que son espace couvre touts les nombres décimaux positifs et négatifs. Tan(x) est toujours un nombre non dimensionnel. Quand x avance de zéro vers Pi/2, c’est à dire, s’approche de l’angle droit, Tan(x) obtient les valeurs de zéro à l´infini positif. En passant l’angle Pi/2, Tan(x) fait un immense saut de l’infini positif à l’infini négatif, puis avance vers Pi (180 degrés) où il retourne à zéro. Pendant cette moitié du trajet, Tan(x) obtient toutes les même valeurs qu’avant mais cette fois elles sont négatives. Quand x continue à grandir vers 3Pi/2 et puis vers 2Pi, les valeurs de Tan(x) sont la répétition des valeurs précédentes, le fait qui manifeste que Tan(x) a la période Pi.

Les palindromes numériques sont des suites de nombres entiers. Pour que Tan(x) soit intéressant au contexte de palindromes, la variable continue x est remplacé par n = 1, 2, 3, … et Tan(n) est converti en nombre entier par un opérateur approprié comme Floor. Par définition, Floor(Tan(n)) désigne le plus grand entier qui est moins de Tan(n). Si Tan(n) est positive, il est simplement délivré des décimales. Par exemple, si n = 4, Tan(4) = 1.15782… et Floor(Tan(4)) = 1, mais si n = 3, Tan(3) = -0.142547… et Floor(Tan(3)) = -1.

Grace à la périodicité de Tan(x) on pourrait attendre du comportement périodique aussi dans Floor(Tan(n)). Mais il a apparu que strictement dit cela n’est pas le cas. J’ai réussi de trouver pourtant une formule pour une sorte de périodicité (”nested periodicity”) qui a été publié dans OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences). Mais certes, il y a des palindromes au dedans des suites que forme Floor(Tan(n)). Cette année j’ai publié une dizaine de nouveaux papiers dans OEIS qui illustrent le comportement de ces palindromes, ce comment ils grandissent de façon monotone en fonction de n, etc. Pour manifester comment est-ce que j’ai trouvé ces palindromes il est nécessaire de remonter à quelques suites de nombres entiers initiales. 

Si n = 1, 2, 3, …, Floor(Tan(n)) = 1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, …, qui est la suite publié à OEIS par Neil Sloane en 2006. En 2015 j’ai présenté la conjecture que l’application itérative des opérateurs ainsi Floor(Tan(Floor(Tan(…Floor(Tan(n))…)))) réduit cette suite enfin en suite composée seulement des zéros et des unes: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …. Dans la suite réduite (A258024 à OEIS) la distribution des unes semble plus intéressante parce que leur proportion est beaucoup moins que celle des zeros. On peut remarquer qu’il y des unes déjà dans la suite originale. 

Les emplacements des unes dans la suite Floor(Tan(n)) sont en effet les racines de l’équation Floor(Tan(n)) = 1. Ces nombres, positifs et négatifs, suscitent de nouvelles suites dont la suivante est composé des racines positives (racine):

racine = 1, 4, 23, 26, 45, 48, 67, 70, 89, 92, 111, 114, 133, 136, 155, 158, 177, … 

Ceci est le A293698 dans OEIS, publiée le 15 Oct 2017. C’est maintenant qu’on peut entrer au monde des palindromes. Les différences (diff) entre ces nombres positifs suscitent une nouvelle suite intéressante qui se trouve sous A293700 à OEIS:

diff = 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 16, …

La suite est infinie et composée de trois entiers: 3, 16 et 19. On voit immédiatement qu’elle contient des fragments palindromes de longueurs variées. La plus longue est la suite des différences (diff), le plus long est le plus long fragment palindrome (pal) qu’elle contient. La longueur du palindrome le plus long (longpal) en fonction de la longueur de la suite des différences (longdiff) est la suite nouvelle qui informe du comportement du palindrome. Elle se trouve sous A293701 à OEIS. Ma conjecture est que le palindrome s’accroit sans limite. Voici la façon de laquelle il s’allonge au début.

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) ou (19) et longpal = 1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et longpal = 3.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) ou (19, 3,19) et longpal = 3.

Le début de la suite longpal est alors: 1, 1, 3, 3, … Sur la base de cet initial comportement de la longueur, aucun raisonnement est possible sur ce qui suivra à long terme sinon ma conjecture que le palindrome s’accroit sans limite. La suite longpal a l’index A293701 à OEIS. 

longpal = 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 13, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, …

Les graphes suivants démontrent que l’accroissement du palindrome progresse d’une phase stable à l’autre et que de temps en temps les deux lignes touchent l’un l’autre, la longueur du palindrome étant égale de celle de la suite des différences, autrement dit, toute la suite des différences étant ainsi momentanément palindrome.

Fig.1. longpal 1...100

Fig.2. longpal 1...1400

Fig.3. longpal 1...10000

Cliquer pour clarifier.  Pour examiner des détails dans Fig.1, magnifier  ceci.

Ce n’est pas seulement l’évolution de la longueur du palindrome qui intéresse. Puisque la suite des différences est normalement plus longue que le palindrome qu’elle contient, ce dernier peut s’y déplacer de plusieurs manières au cours de son processus d’allongement. C’est justement cette migration au dedans de l’espace disponible qui intéresse. Grace à la symétrie de palindrome il est possible de spécifier la transition à chaque fois par rapport à la position de son point de symétrie. Alors que la transition est vers la gauche, elle est définie négative. Voici les transitions initiales:

Si diff = (3), longdiff = 1, pal = (3) et transition = 0.

Si diff = (3, 19), longdiff = 2, pal = (3) et transition = -1.

Si diff = (3, 19, 3), longdiff = 3, pal = (3, 19, 3) et et transition = 0.

Si diff = (3, 19, 3, 19), longdiff = 4, pal = (3, 19, 3) et transition = -1.

La transition du palindrome en fonction de la longueur de la suite des différences est la suite A293704 en OEIS.

transition = 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -13, -14, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, 

Fig.4. transition 1...150.

Fig.5. transition 1...2500.

Fig.6. transition 1...10000.

Cliquer pour clarifier. Pour examiner 
des détails dans Fig.5, magnifier 
ce lien-ci 





Ce qui reste est de convertir cette histoire en musique. Mais c'est un autre projet.